آسیب شناسی مثبت
وقتی رفتار نوسانی را می بینم، به طور غریزی فکر می کنم “بازخورد منفی با تاخیر”. به طور معمول، این حدس خوبی است، اما نه همیشه. گاهی اوقات این یک چرخه محدود یا هرج و مرج است که شامل غیرخطی بودن و ترکیبی از بازخورد مثبت و منفی است، اما امروز چیزی ساده تر، در عین حال عجیب تر است. وقتی رفتار نوسانی را می بینم، به طور غریزی فکر می کنم “بازخورد منفی با تاخیر”. به طور معمول، این حدس خوبی است، اما نه همیشه. گاهی اوقات این یک چرخه محدود یا هرج و مرج است که شامل غیرخطی بودن و ترکیبی از بازخورد مثبت و منفی است، اما امروز چیزی ساده تر و در عین حال عجیب تر است.
محمد مجتهدزاده به تازگی یک مدل کلاسیک را برای من ارسال کرده است که برگرفته از تز آلن گراهام در مورد اصول رابطه بین ساختار و رفتار سیستم‌های پویا است. این یک حلقه بازخورد مثبت واحد است که رشد تصاعدی ایجاد نمی کند، اما نوسان می کند.
ترفند چیست؟ حلقه از ادغام های خالص تشکیل شده است. نرخ تغییر هر سهم، ارزش سهام قبلی در حلقه ضرب در یک ثابت است. ادغام های خالص هر کدام 90 درجه تاخیر فاز اضافه می کنند (یعنی تاخیر)، بنابراین زمانی که یک اختلال از حلقه عبور می کند، به مبدأ خود می رسد و برای اجرای تکرار آماده می شود.
همان چیزی که در یک سیستم جرمی فنری بدون اصطکاک رخ می‌دهد (فکر می‌کنید یک لغزنده آویزان ایده‌آل)، که نوسان می‌کند زیرا یک حلقه بازخورد منفی مرتبه دوم است. حالات موجود در حلقه موقعیت و تکانه جرم هستند. موقعیت انتگرال سرعت است و تکانه نیرویی را که تابع خطی موقعیت است یکپارچه می کند. هر پیوند یک ادغام خالص است (تا زمانی که اصطکاک وجود نداشته باشد، که یک حلقه منفی مرتبه اول جزئی اضافه می کند).
تا اینجا خیلی خوب است، اما سیستم مرتبه چهارم هنوز یک حلقه مثبت است، پس چرا رشد نمی کند؟ ترفند این است که سیستم را به گونه ای مقداردهی کنید که حالت رشد را سرکوب کند. برای انجام این کار، فقط باید سیستم را در حالتی مقداردهی اولیه کنیم که شامل هیچ جزء بردار ویژه مطابق با حالت رشد نیست، که مقدار ویژه واقعی مثبت است.
با نگاهی ریاضی به سیستم مرتبه چهارم، می توان آن را به عنوان یک ماتریس افزایش نوشت:
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
با استفاده از ماشین‌حساب مقدار ویژه آنلاین spiffy در اینجا، که دارای:
Characteristic polynomial: x^4 - 1
Real eigenvalues: {-1, 1}
Complex eigenvalues: {-î, î}
Eigenvector of eigenvalue -1: (-1, 1, -1, 1)
Eigenvector of eigenvalue 1: (1, 1, 1, 1)
Eigenvector of eigenvalue -î: (1, î, -1, -î)
Eigenvector of eigenvalue î: (1, -î, -1, î)
بنابراین، می‌توانیم سیستم را با هر ترکیب خطی (-1،1،-1،1)، (1،1،-1،-1)، و (1،-1،-1،1) مقداردهی اولیه کنیم. تا زمانی که اجازه ندهیم هیچ (1،1،1،1) دزدکی وارد شود. اگر (-1،1،-1،1) را انتخاب کنیم، دچار فروپاشی نمایی خواهیم شد – رفتاری که برای واقعیت منفی انتظار داریم. ارزش ویژه هر ترکیبی از دو مورد دیگر – مانند ((1,1,-1,-1)+ (1,-1,-1,1))/2 = (1,0,-1,0) نوسان ایجاد می کند.
همه اینها کار می کند زیرا حالت های رفتار در یک سیستم خطی به طور مستقل وجود دارند – نوعی زوج عجیب و غریب که می توانند بدون ایجاد اشکال با یکدیگر زندگی کنند.
می توان از ماشین حساب مقدار ویژه برای ایجاد سایر پارامترهای آسیب شناسی استفاده کرد. به عنوان مثال، ماتریس بهره
0 0 0 .4
.5 0 0 0
0 .6 0 0
0 0 .7 0
بردارهای ویژه ای را به دست می دهد که می توان از آنها برای مقداردهی اولیه حلقه با حالت های پایدار و نوسانی متناوب استفاده کرد. در حالت نوسانی، تأخیر فاز در هر مرحله هنوز 90 درجه است، اما دامنه هر استوک متفاوت است (سیستم یک نسخه کوچک شده از نسخه اصلی است).
اگر هیچ‌کدام از اینها منطقی نیست، به پایان‌نامه آلن نگاهی بیندازید، که از حدود صفحه 51 شروع می‌شود. در واقع، کل مطلب را بخوانید (I am) – کار خوبی در ارتباط دادن رفتار به ساختار و ریاضیات به طور شهودی است.
آیا این سیاست مرتبط است؟ در هر سیستم واقع گرایانه، کوچکترین نویز حالت رشد را تحریک می کند و منجر به رفتار انفجاری می شود. این واقعاً نمی‌تواند در دنیای واقعی اتفاق بیفتد، بنابراین تا جایی که این رفتار خود را نشان می‌دهد، باید با غیرخطی‌های مرزی تعدیل شود. با این حال، آلن گراهام حداقل یک نمونه از چنین حلقه ای را شناسایی می کند (در مدل کلاسیک رشد بازار Forrester).
مدل‌های ونسیم از نسخه اصلی آلن به‌علاوه نسخه‌های جدید الهام گرفته شده توسط محمد در کتابخانه مدل موجود است.