مدتی پیش، بروس اسکارین توضیحی در مورد دوشاخه‌ها در یک مدل هسته هسته‌ای درخواست کرد. من نمی‌توانم آن مدل را به اندازه کافی خوب توضیح دهم که معنادار باشد، اما فکر کردم شاید مفید باشد که مفهوم دوشاخه‌ها را به طور کلی توضیح دهم.
دوشاخه تغییری در ساختار یک مدل است که باعث تغییر کیفی در رفتار می‌شود. کیفی فقط به معنای بزرگ نیست؛ بلکه به معنای متفاوت است. بنابراین، تغییری در نرخ بهره که یک کشور را در یک هفته به جای یک قرن ورشکست می‌کند، دوشاخه نیست، زیرا رفتار در هر دو حالت رشد نمایی است. تغییر کیفی در رفتار همان چیزی است که ما اغلب در پویایی سیستم به عنوان تغییری در حالت رفتار صحبت می‌کنیم، به عنوان مثال، تغییری از زوال نمایی به نوسان.
این موضوع ارتباط نزدیکی با تفاوت در توپولوژی دارد. در توپولوژی، زمین و یک تیله از نظر کیفی یکسان هستند، زیرا هر دو کره هستند. مقیاس مهم نیست. توپ راگبی و توپ بسکتبال نیز از نظر توپولوژیکی یکسان هستند، زیرا می‌توانید یکی را بدون پاره شدن به دیگری تغییر شکل دهید.
از طرف دیگر، نمی‌توانید یک توپ را به یک دونات تغییر شکل دهید، زیرا هیچ راهی برای ایجاد سوراخ وجود ندارد. بنابراین، یک دوشاخه روی یک توپ مانند فشردن آن تا زمانی است که طرفین به هم برسند، پاره کردن وسط و بخیه زدن لبه‌های حاصل به هم است. این کیفی است.
همانطور که می‌توانیم یک توپ را از یک دونات از یک چوب شور با چیدمان سوراخ‌ها تشخیص دهیم، می‌توانیم دوشاخه‌ها را با تأثیر آنها بر چیدمان نقاط ثابت یا سایر مجموعه‌های ناوردا در فضای حالت یک سیستم تشخیص دهیم. نقاط ثابت فقط مکان‌هایی در فضای حالت هستند که رفتار یک سیستم یک نقطه را به خودش نگاشت می‌کند – یعنی تعادل‌ها هستند. به طور کلی، یک مجموعه ناوردا ممکن است یک مدار (یک چرخه حدی در دو بعد) یا یک جاذب آشوبناک (در سه بعد) باشد.
بسیاری از تغییرات پارامتر در یک سیستم فقط نقاط ثابت را کمی جابجا می‌کنند یا آنها را تغییر شکل می‌دهند، بدون اینکه تعداد، نوع یا رابطه آنها با یکدیگر را تغییر دهند. این نتیجه کمی را تغییر می‌دهد، احتمالاً به مقدار زیاد، اما حالت رفتار کیفی را تغییر نمی‌دهد.
در یک دوشاخه، جمعیت نقاط ثابت و مجموعه‌های ناوردا واقعاً تغییر می‌کند. نقاط ثابت می‌توانند به چندین نقطه تقسیم شوند، پایداری را تغییر دهند، با یکدیگر برخورد کنند و یکدیگر را نابود کنند، مدارها را ایجاد کنند و غیره. البته، برای وجود یا همزیستی بسیاری از این موارد، سیستم باید غیرخطی باشد.
مثال مورد علاقه من دوشاخه چنگال فوق بحرانی است. با تغییر یک پارامتر دوشاخه، یک نقطه ثابت پایدار واحد (دسته چنگال) به طور ناگهانی به سه قسمت تقسیم می‌شود (شاخک‌ها): یک جفت نقطه پایدار، با یک نقطه ناپایدار در وسط. این یک نقطه اوج ایجاد می‌کند: در اطراف نقطه ثابت ناپایدار، تغییرات کوچک در شرایط اولیه باعث می‌شود سیستم به یکی از نقاط ثابت پایدار دیگر شلیک کند.
به طور مشابه، یک دوشاخه هاپف زمانی ظاهر می‌شود که یک نقطه ثابت پایداری را تغییر می‌دهد و یک مدار تناوبی در اطراف آن ظاهر می‌شود. مدارهای تناوبی اغلب دو برابر شدن دوره را تجربه می‌کنند، که در آن سیستم دو مدار را طی می‌کند تا به حالت اولیه خود بازگردد، و دو برابر شدن دوره مکرر مسیری به آشوب است.
من برخی از مدل‌هایی را که اینها و موارد دیگر را نشان می‌دهند در اینجا ارسال کرده‌ام.
یک دوشاخه معمولاً از یک تغییر پارامتر ناشی می‌شود. اغلب نمودارهایی را مشاهده می‌کنید که رفتار یا مکان نقاط ثابت را با توجه به برخی پارامترهای دوشاخه نشان می‌دهند، که فقط یک ثابت مدل است که در یک محدوده معین برای آشکار کردن تغییرات کیفی تغییر می‌کند. برخی از دوشاخه‌ها برای رخ دادن به چندین تغییر هماهنگ نیاز دارند.
البته، یک پارامتر ثابت در یک مفهوم از یک مدل ممکن است یک حالت درون‌زا در مفهوم دیگر باشد – برای مثال، در یک افق زمانی طولانی‌تر. همچنین می‌توانید تغییر ساختار (اضافه کردن یک حلقه بازخورد) را به عنوان یک تغییر پارامتر در نظر بگیرید، که در آن پارامتر 0 است (حلقه خاموش است) یا 1 است (حلقه روشن است).
دوشاخه‌ها یک توضیح شهودی برای ادعای قدیمی SD ارائه می‌دهند که ساختار مهم‌تر از پارامترها است. ساختار یک سیستم اغلب تأثیر قابل توجه‌تری بر انواع نقاط ثابت یا مجموعه‌هایی که می‌توانند وجود داشته باشند، نسبت به جزئیات پارامترها خواهد داشت. (البته، این موضوع پیچیده است، زیرا درست است، مگر زمانی که درست نباشد. پارامترهای حساس ممکن است وجود داشته باشند و در سیستم‌های غیرخطی، ترکیبات حساس دشوار برای یافتن ممکن است وجود داشته باشند. همچنین، حساسیت ممکن است به دلایلی غیر از دوشاخه وجود داشته باشد.)
چرا این موضوع مهم است؟ برای تصمیم‌گیرندگان، مهم است زیرا راحت شدن با عملکرد پایدار یک سیستم در یک رژیم آسان است و سپس زمانی که قوانین به طور ناگهانی در پاسخ به برخی تغییرات نادیده گرفته شده یا مدیریت نشده در حالت یا پارامترها تغییر می‌کنند، غافلگیر می‌شوند. برای اپراتور راکتور هسته‌ای، پایداری از اهمیت بالایی برخوردار است و ظهور چرخه‌های حدی پس از یک دوشاخه هاپف ناشی از برخی تغییرات در پارامترهای عملیاتی، کمی بیشتر از ناراحت‌کننده خواهد بود.
بعداً در این مورد بیشتر توضیح خواهیم داد.